고정 소수점, 부동 소수점

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컴퓨터에서는 소수점이 있는 숫자를 표현하는데 두가지 방법이 있다.

각각의 방법은 데이터의 범위, 정밀도, 연산 속도 측면에서 다른 특성을 갖고 있으므로

개념을 이해하고 적합한 방법을 선택하는것이 좋은 선택이 될 수 있다.

 

고정 소수점

 

고정 소수점 표현은 소수점이 말그대로 고정되어 있음을 의미한다.

정수부분, 소수 부분의 비율이 미리 정해져 있어 소수점의 위치가 고정되는 것이 특징이다.

 

예를 들어 고정소수점이 32bit 고정 소수점에서는

0 0000000 00000000 00000000 00000000

 

0 = 부호비트로 0이면 양수 1이면 음수를 의미한다.

0 = 빨간비트영역은 정수부분을 의미한다. (15bit)

0 = 파란부분은 소수점 이하 부분을 의미한다.(16bit)

 

미리 소수점의 위치가 결정되었으므로 연산속도가 빠르며

구현과정이 꽤 직관적이라는 장점이 있다.

 

하지만 미리 소수점이 미리 정해져 있다는 것은 매우 작은수, 큰수를 표현할때 정확한 표현이 어렵다는 단점이 있다.

 

9.123 의 값을 고정소수점 방식으로 표현해보자.

 

정수부분과 소수부분을 따로 이진법으로 처리하면 된다.

9 = 0000 1001 로 쉽게 이진수를 구할수 있다. 이 이진수는 정수부분에 그대로 대입해주면 된다.

 

소수부분의 경우 소수부분을 2씩 계속 곱해가며 나온 결과값의 정수부분을 따오면 된다.

소수 비트가 총 16개 이므로 16번의 연산

 

0.123 × 2 = 0.246  -> 0
0.246 × 2 = 0.492  -> 0
0.492 × 2 = 0.984  -> 0
0.984 × 2 = 1.968  -> 1
0.968 × 2 = 1.936  -> 1
0.936 × 2 = 1.872  -> 1
0.872 × 2 = 1.744  -> 1
0.744 × 2 = 1.488  -> 1
0.488 × 2 = 0.976  -> 0
0.976 × 2 = 1.952  -> 1
0.952 × 2 = 1.904  -> 1
0.904 × 2 = 1.808  -> 1
0.808 × 2 = 1.616  -> 1
0.616 × 2 = 1.232  -> 1
0.232 × 2 = 0.464  -> 0
0.464 × 2 = 0.928  -> 0

 

0001111101111100

 

해당 결과는 0001 1111 0111 1100 로 확인된다. 하지만 위의 과정은 보다시피 근사값을 활용했다는 것을 기억하자.

 

측 9.123 의 고정소수점의 표현은 0 00000000 0001001 00011111 01111100 의 이진수로 표현되는 것을 알 수 있다.

 

반대로 이진수에서 십진수의 값을 구할경우

 

부호비트는 0으로 양수를 확인하였고.

 

정수부분의 경우 쉽게 파악이 가능하며소수부분은 1로 표기된 비트자리 4,5,6,7,8,10,11,12,13,14 에서2^-4 , 2^-5 , 2^-6 , 2^-7 , 2^-8 , 2^-10 , 2^-11 , 2^-12 , 2^-13 , 2^-14 의 값을 전부 더해주면된다.

 

 

2^-4 = 0.0625 +

2^-5 = 0.03125 +

2^-6 = 0.015625 +

2^-7 = 0.0078125 +

2^-8 = 0.00390625 +

2^-10 = 0.0009765625 +

2^-11 = 0.00048828125 +

2^-12 = 0.000244140625 +

2^-13 = 0.0001220703125 +

2^-14 = 0.00006103515625 +

 

 

= 0.12298583984375 로 이진수로 변환하고 다시 십진수로 변환의 결과값은 9.12298583984375의 값으로 확인된다.

 

위의 고정소수점으로 이진수를 바꾸는 과정에서 근사값을 추출하는 과정이 있었고 소수부분이 8비트로만 표현되기때문에 정확한값이 떨어지지 않으며, 오차가 발생될 수 있다는 점을 확인할 수 있다.

 

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부동 소수점

위의 소수점이 고정된 방식과는 달리 부동(floating : 떠다니는) 소수점 방식이 있다.

이는 소수점이 유동적으로 이동하는것을 의미한다.

 

똑같은 예시로 9.123 을 예로 들어보자.

비트수는 위와 똑같이 32비트의 상황에서 처리한다고 가정해보고싶다.

 

0 00000000 00000000 00000000 0000000

 

0 = 부호비트로 0이면 양수 1이면 음수를 의미한다.

0 = 빨간비트영역은 지수부분을 의미한다. (8bit 입니다)

0 = 파란부분은 가수부를 의미한다.(나머지 23bit)

 

일단은 부동 소수점 방식으로 이진법으로 변환시켜보자.

 

우선 정수부분 9 이진수는 1001

 

소수점부분 계산방식은 고정소수점 방식과 같다.

 

0.123 × 2 = 0.246  (정수 부분 0)
0.246 × 2 = 0.492  (정수 부분 0)
0.492 × 2 = 0.984  (정수 부분 0)
0.984 × 2 = 1.968  (정수 부분 1)

0.968 × 2 = 1.936  (정수 부분 1)
0.936 × 2 = 1.872  (정수 부분 1)
0.872 × 2 = 1.744  (정수 부분 1)
0.744 × 2 = 1.488  (정수 부분 1)

0.488 × 2 = 0.976  (정수 부분 0)
0.976 × 2 = 1.952  (정수 부분 1)
0.952 × 2 = 1.904  (정수 부분 1)
0.904 × 2 = 1.808  (정수 부분 1)

0.808 × 2 = 1.616  (정수 부분 1)
0.616 × 2 = 1.232  (정수 부분 1)
0.232 × 2 = 0.464  (정수 부분 0)
0.464 × 2 = 0.928  (정수 부분 0)

0.928 × 2 = 1.856  (정수 부분 1)

0.856 x 2 = 1.712 (정수 부분 1)

0.712 x 2 = 1.424 (정수 부분 1)

0.424 x 2 = 0.848 (정수 부분 0)

 

0.848 x 2 = 1.696 (정수 부분 1)

0.696 x 2 = 1.392 (정수 부분 1)

0.392 x 2 = 0.784 (정수 부분 0)

 

결과값은 0 00001001 00011111 01111100 1110110

위와 같은 형식으로 이루어진 가수부가 23개의 bit값이 채워질것이다.

 

여기서 부동소수점의 특성으로 지수부와 가수부 사이에서 가장 왼쪽에 있는 숫자 오른쪽으로 소수점을 이동시킨다.

0 00001001．00011111 여기에서

0 00001 ． 00100011111 여기로!

 

소수점이 왼쪽으로 3칸 이동하게 됐다.

위의 근사값을 정규화 시켜보면

 

1.00011111011111001110110 × 2^(-3) 으로 표현하게 된다.